การหารลงตัว |
| บทนิยาม | กำหนด a, b เป็นจำนวนเต็มใดๆ โดยที่ b ≠ 0
b หาร a ลงตัว ก็ต่อเมื่อ มีจำนวนเต็ม n ที่ทำให้ a = bn
และเขียนแทน “b หาร a ลงตัว” ได้ด้วยสัญลักษณ์ b | a |
จากบทนิยาม ถ้า b หาร a ไม่ลงตัว แสดงว่าไม่มีจำนวนเต็ม n ที่ทำให้ a = bn และ เขียนแทน “b หาร a ไม่ลงตัว” ได้ด้วยสัญลักษณ์ b † a |
| ตัวอย่างเช่น | 3 | 9 เพราะมี n = 3 ที่ทำให้ 9 = 3n |
| | -5 | 10 เพราะมี n = -2 ที่ทำให้ 10 = +5n |
| | 6 | 0 เพราะมี n = 0 ที่ทำให้ 0 = 6n |
|
สมบัติการหารลงตัว |
| ทฤษฎีบทที่ 1 | กำหนด a, b, c เป็นจำนวนเต็มใดๆ
ถ้า a | b และ b | c แล้วจะได้ a | c |
| | |
| ทฤษฎีบทที่ 2 | กำหนด a, b เป็นจำนวนเต็มบวก
ถ้า a | b แล้วจะได้ a ≤ b |
| | |
| ทฤษฎีบทที่ 3 | กำหนด a, b, c เป็นจำนวนเต็มใดๆ
ถ้า a | b และ b | c แล้วจะได้ a | bx + cy
เมื่อ x, y เป็นจำนวนเต็มใดๆ |
|
การจำแนกจำนวนเต็มบวกโดยใช้สมบัติการหารลงตัว |
1.จำนวนเฉพาะ (Prime Numbers) |
| บทนิยาม | จำนวนเต็ม p จะเป็นจำนวนเฉพาะ ก็ต่อเมื่อ p ≠ 0, p ≠ 1, p ≠ -1 และถ้ามีจำนวนเต็มที่หาร p ลงตัว จำนวนเต็มนั้นต้องเป็นสมาชิกของ {-1, 1, p, -p} |
| | | | |
2.จำนวนประกอบ (Composite Numbers) |
| บทนิยาม | จำนวนเต็ม c เป็นจำนวนเต็มบวกที่มากกว่า 1 จะเป็นจำนวนประกอบ ก็ต่อเมื่อ c ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ |
| นั่นคือสำหรับจำนวนเต็มบวก c ใดๆ c จะเป็นจำนวนประกอบ ก็ต่อเมื่อ มีจำนวนเต็ม m และ n ที่ต่างจาก c ที่ทำให้ c = mn |
| | | | |
| ตัวอย่างเช่น | | | |
| จำนวนที่หาร 2 ลงตัว ได้แก่ {-1, 1, 2, -2} ∴ 2 เป็นจำนวนเฉพาะ
จำนวนที่หาร 3 ลงตัว ได้แก่ {-1, 1, 3, -3} ∴ 3 เป็นจำนวนเฉพาะ
จำนวนที่หาร 4 ลงตัว ได้แก่ {-4, -2, -1, 1, 2, 4} ∴ 4 ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ |
| | | | |
• ขั้นตอนวิธีการหาร |
| ถ้า a และ b เป็นจำนวนเต็ม โดยที่ b ≠ 0 แล้วจะมี q และ r ซึ่งเป็นจำนวนเต็มที่ทำให้
a = bq + r เมื่อ 0 r |b|
นั่นคือ a เป็นตัวตั้งหารด้วย b ได้ผลหารคือ q และเศษ r |
| | | | |
| ตัวอย่างที่ 1 | กำหนด a = 48, b = 7 จงหา q และ r |
| | เขียนให้อยู่ในรูป | a = bq + r | |
| | | 48 = 7 × 6 +6 | |
| | | q = 6 และ r = 6 | |
| | | | |
• ตัวหารร่วม |
| ตัวหารร่วม |
|
กำหนด a และ b เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์ เรียกจำนวนเต็ม c
ซึ่ง c | a และ c | b ว่าเป็น “ตัวหารร่วม” ของ a และ b |
|
| ตัวหารร่วมมาก |
|
กำหนด a และ b เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน เรียกจำนวนเต็มบวก d ที่มีค่ามากที่สุด ซึ่ง d | a และ d | b ว่าเป็น “ตัวหารร่วมมาก” (ห.ร.ม.) ของ a และ b เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ (a, b) |
|
| ตัวอย่างเช่น | จงหา ห.ร.ม. ของ 36 และ 48 |
| วิธีทำ | ตัวหารร่วมของ 36 ได้แก่ ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±9, ±12, ±18, ±36 |
| | ตัวหารร่วมของ 48 ได้แก่ ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±8, ±12, ±16, ±24, ±48 |
| | ตัวหารร่วมที่เป็นบวกของ 36 และ 48 ได้แก่ 1, 2, 3, 4, 6, 12 |
|
| ตัวหารร่วม
ที่เป็นบวกของ 36 และ 48 ที่มีค่ามากที่สุด คือ12 |
| | นั่นคือ ห.ร.ม. ของ 36 และ 48 คือ 12 |
| | | | |
การหาตัวหารร่วมมากโดยใช้ขั้นตอนวิธีของยุคลิด |
| |
| ตัวอย่างเช่น | จงหา ห.ร.ม. ของ 36 และ 48 |
| วิธีทำ | |
| ในที่นี้ rk = 12
ดังนั้น ห.ร.ม. ของ 36 และ 48 คือ 12 |
| | | | |
จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ |
| บทนิยาม |
จำนวนเต็ม a และ b จะเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันก็ต่อเมื่อ (a, b) = 1 |
|
| | | | |
• ตัวคูณร่วมน้อย |
| ตัวคูณร่วมน้อย |
|
กำหนด a และ b เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์ เรียกจำนวนเต็มบวก c ที่มีค่าน้อยที่สุด ซึ่ง a | c และ b | c ว่าเป็น "ตัวคูณร่วมน้อย" (ค.ร.น.) ของ a และ b เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ [a, b] |
|
| ตัวอย่างเช่น | จงหา ค.ร.น. ของ 36 และ 24 |
| วิธีทำ | พหุคูณที่เป็นบวกของ 36 ได้แก่ 36, 72, 108, 144, ... |
| | พหุคูณที่เป็นบวกของ 24 ได้แก่ 24, 48, 72, 96, 120, 144, ... |
| | พหุคูณร่วมที่เป็นบวกของ 36 และ 24 ได้แก่ 72, 144, ... |
| | พหุคูณร่วมที่เป็นบวกของ 36 และ 24 ที่มีค่าน้อยที่สุด คือ 72 |
| | นั่นคือ ค.ร.น. ของ 36 และ 24 คือ 72
|