วันพฤหัสบดีที่ 9 กันยายน พ.ศ. 2553

ทฤษฏีจำนวนเบื้องต้น




การหารลงตัว
บทนิยาม
กำหนด a, b เป็นจำนวนเต็มใดๆ โดยที่ b ≠ 0
b หาร a ลงตัว ก็ต่อเมื่อ มีจำนวนเต็ม n ที่ทำให้ a = bn
และเขียนแทน “b หาร a ลงตัว” ได้ด้วยสัญลักษณ์ b | a
       จากบทนิยาม ถ้า b หาร a ไม่ลงตัว แสดงว่าไม่มีจำนวนเต็ม n ที่ทำให้ a = bn และ เขียนแทน “b หาร a ไม่ลงตัว ได้ด้วยสัญลักษณ์ b † a
ตัวอย่างเช่น3 | 9 เพราะมี n = 3 ที่ทำให้  9 = 3n
-5 | 10 เพราะมี n = -2 ที่ทำให้ 10 = +5n
6 | 0 เพราะมี n = 0 ที่ทำให้ 0 = 6n

สมบัติการหารลงตัว
ทฤษฎีบทที่ 1กำหนด a, b, c เป็นจำนวนเต็มใดๆ
ถ้า a | b และ b | c แล้วจะได้ a | c
ทฤษฎีบทที่ 2กำหนด a, b เป็นจำนวนเต็มบวก
ถ้า a | b แล้วจะได้ a ≤ b
ทฤษฎีบทที่ 3กำหนด a, b, c เป็นจำนวนเต็มใดๆ
ถ้า a | b และ b | c แล้วจะได้ a | bx + cy
เมื่อ x, y เป็นจำนวนเต็มใดๆ

การจำแนกจำนวนเต็มบวกโดยใช้สมบัติการหารลงตัว

1.จำนวนเฉพาะ (Prime Numbers)
บทนิยามจำนวนเต็ม  p จะเป็นจำนวนเฉพาะ ก็ต่อเมื่อ p ≠ 0, p ≠ 1, p ≠ -1 และถ้ามีจำนวนเต็มที่หาร p ลงตัว จำนวนเต็มนั้นต้องเป็นสมาชิกของ {-1, 1, p, -p}

2.จำนวนประกอบ (Composite Numbers)
บทนิยามจำนวนเต็ม c เป็นจำนวนเต็มบวกที่มากกว่า 1 จะเป็นจำนวนประกอบ ก็ต่อเมื่อ c ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ
       นั่นคือสำหรับจำนวนเต็มบวก c ใดๆ c จะเป็นจำนวนประกอบ ก็ต่อเมื่อ มีจำนวนเต็ม m และ n ที่ต่างจาก c ที่ทำให้ c = mn
ตัวอย่างเช่น
       จำนวนที่หาร 2 ลงตัว ได้แก่ {-1, 1, 2, -2}  2 เป็นจำนวนเฉพาะ
       จำนวนที่หาร 3 ลงตัว ได้แก่ {-1, 1, 3, -3}  3 เป็นจำนวนเฉพาะ
       จำนวนที่หาร 4 ลงตัว ได้แก่ {-4, -2, -1, 1, 2, 4}  4 ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ
• ขั้นตอนวิธีการหาร
ถ้า a และ b เป็นจำนวนเต็ม โดยที่ b ≠ 0 แล้วจะมี q และ r ซึ่งเป็นจำนวนเต็มที่ทำให้
                     a = bq + r เมื่อ 0 r |b|
นั่นคือ a เป็นตัวตั้งหารด้วย b ได้ผลหารคือ q และเศษ r
ตัวอย่างที่ 1กำหนด a = 48, b = 7 จงหา q และ r
เขียนให้อยู่ในรูปa = bq + r
48 = 7 × 6 +6
q = 6 และ r = 6
• ตัวหารร่วม
ตัวหารร่วม

     กำหนด a และ b เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์ เรียกจำนวนเต็ม c
     ซึ่ง c | a และ c | b ว่าเป็น “ตัวหารร่วม” ของ a และ b
ตัวหารร่วมมาก

     กำหนด a และ b เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน เรียกจำนวนเต็มบวก d ที่มีค่ามากที่สุด ซึ่ง d | a และ d | b ว่าเป็น “ตัวหารร่วมมาก” (ห.ร.ม.) ของ a และ b เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ (a, b)
ตัวอย่างเช่นจงหา ห.ร.ม. ของ 36 และ 48
วิธีทำตัวหารร่วมของ 36 ได้แก่ ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±9, ±12, ±18, ±36
ตัวหารร่วมของ 48 ได้แก่ ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±8, ±12, ±16, ±24, ±48
ตัวหารร่วมที่เป็นบวกของ 36 และ 48 ได้แก่ 1, 2, 3, 4, 6, 12

ตัวหารร่วม
ที่เป็นบวกของ 36 และ 48 ที่มีค่ามากที่สุด คือ12
นั่นคือ ห.ร.ม. ของ 36 และ 48 คือ 12
การหาตัวหารร่วมมากโดยใช้ขั้นตอนวิธีของยุคลิด
ตัวอย่างเช่นจงหา ห.ร.ม. ของ 36 และ 48
วิธีทำ
     ในที่นี้ rk = 12
     
ดังนั้น ห.ร.ม. ของ 36 และ 48 คือ 12
จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์
บทนิยาม
  จำนวนเต็ม a และ b จะเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันก็ต่อเมื่อ (a, b) = 1
• ตัวคูณร่วมน้อย
ตัวคูณร่วมน้อย
  กำหนด a และ b เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์ เรียกจำนวนเต็มบวก c ที่มีค่าน้อยที่สุด ซึ่ง a | c และ b | c ว่าเป็น "ตัวคูณร่วมน้อย" (ค.ร.น.) ของ a และ b เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ [a, b]
ตัวอย่างเช่นจงหา ค.ร.น. ของ 36 และ 24
วิธีทำพหุคูณที่เป็นบวกของ 36 ได้แก่ 36, 72, 108, 144, ...
พหุคูณที่เป็นบวกของ 24 ได้แก่ 24, 48, 72, 96, 120, 144, ...
พหุคูณร่วมที่เป็นบวกของ 36 และ 24 ได้แก่ 72, 144, ...
พหุคูณร่วมที่เป็นบวกของ 36 และ 24 ที่มีค่าน้อยที่สุด คือ 72
นั่นคือ ค.ร.น. ของ 36 และ 24 คือ 72



20 ความคิดเห็น:

  1. เทพว่ะฮอลล์ ขอบคุณนะ 5555

    ตอบนำออก
  2. ไม่อยากจะเชื่อว่าฮอลล์จะทำเรื่องนี้ 555 Thx.สำหรับความรู้จ่ะ ^^

    ตอบนำออก
  3. ขอบจัย มั๊กๆ เข้าใจขึ้นเยอะ ;P

    ตอบนำออก
  4. พ่อนักคณิตศาสตร์

    55 แต๊งกิ้วๆ

    ตอบนำออก
  5. ข้อมูลแน่นเปรี๊ยะมาก ^^

    ตอบนำออก
  6. เนื้อหาครบถ้วนดีจิงๆ

    ตอบนำออก
  7. งงมาตั้งเกือบเทอม ได้เมิงอะที่ทำให้กรุเข้าใจ ขอบใจมากน่ะ *-*

    ตอบนำออก
  8. เออ มึงทำแล้ว อ่านกุเข้าใจกว่า ที่ รร ว่ะ - -

    ตอบนำออก
  9. ม่ายยน่าเชื่ออ่ะ เก๋ Thxๆๆ จร้ะ

    ตอบนำออก
  10. สุดๆอะ สรุปดีค่อด เรียนแล้วไม่รุเรื่องเลย ToT
    อ่านเข้าใจขึ้นเยอะ

    ตอบนำออก
  11. กำลังเรียนเรยนะเนี้ย
    อิอิอิ

    ตอบนำออก
  12. มึน ๆๆ คณิตศาสตร์ จบไป ได้ ใช้ มั้ย ?????

    ตอบนำออก
  13. เอ้อ จัยมาก
    ไว้อ่านก่อนสอบ555+

    ตอบนำออก
  14. นี่ไม้นะ 555+ คนโง่เลขโพสต์สอนเลข กรั่กๆ

    ตอบนำออก
  15. หวัดดีเพิ่ลฝูง

    บายดี บ่คับบบบ ^^

    ตอบนำออก