ทฤษฏีจำนวนเบื้องต้น

การหารลงตัว บทนิยาม กำหนด a, b เป็นจำนวนเต็มใดๆ โดยที่ b ≠ 0 b หาร a ลงตัว ก็ต่อเมื่อ มีจำนวนเต็ม n ที่ทำให้ a = bn และเขียนแทน “b หาร a ลงตัว” ได้ด้วยสัญลักษณ์ b | a        จากบทนิยาม ถ้า b หาร a ไม่ลงตัว แสดงว่าไม่มีจำนวนเต็ม n ที่ทำให้ a = bn และ เขียนแทน “b หาร a ไม่ลงตัว” ได้ด้วยสัญลักษณ์ b † a ตัวอย่างเช่น 3 | 9 เพราะมี n = 3 ที่ทำให้  9 = 3n -5 | 10 เพราะมี n = -2 ที่ทำให้ 10 = +5n 6 | 0 เพราะมี n = 0 ที่ทำให้ 0 = 6n สมบัติการหารลงตัว ทฤษฎีบทที่ 1 กำหนด a, b, c เป็นจำนวนเต็มใดๆ ถ้า a | b และ b | c แล้วจะได้ a | c ทฤษฎีบทที่ 2 กำหนด a, b เป็นจำนวนเต็มบวก ถ้า a | b แล้วจะได้ a ≤ b ทฤษฎีบทที่ 3 กำหนด a, b, c เป็นจำนวนเต็มใดๆ ถ้า a | b และ b | c แล้วจะได้ a | bx + cy เมื่อ x, y เป็นจำนวนเต็มใดๆ การจำแนกจำนวนเต็มบวกโดยใช้สมบัติการหารลงตัว 1.จำนวนเฉพาะ (Prime Numbers) บทนิยาม จำนวนเต็ม  p จะเป็นจำนวนเฉพาะ ก็ต่อเมื่อ p ≠ 0, p ≠ 1, p ≠ -1 และถ้ามีจำนวนเต็มที่หาร p ลงตัว จำนวนเต็มนั้นต้องเป็นสมาชิกของ {-1, 1, p, -p} 2.จำนวนประกอบ (Composite Numbers) บทนิยาม จำนวนเต็ม c เป็นจำนวนเต็มบวกที่มากกว่า 1 จะเป็นจำนวนประกอบ ก็ต่อเมื่อ c ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ        นั่นคือสำหรับจำนวนเต็มบวก c ใดๆ c จะเป็นจำนวนประกอบ ก็ต่อเมื่อ มีจำนวนเต็ม m และ n ที่ต่างจาก c ที่ทำให้ c = mn ตัวอย่างเช่น        จำนวนที่หาร 2 ลงตัว ได้แก่ {-1, 1, 2, -2} ∴ 2 เป็นจำนวนเฉพาะ        จำนวนที่หาร 3 ลงตัว ได้แก่ {-1, 1, 3, -3} ∴ 3 เป็นจำนวนเฉพาะ        จำนวนที่หาร 4 ลงตัว ได้แก่ {-4, -2, -1, 1, 2, 4} ∴ 4 ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ • ขั้นตอนวิธีการหาร ถ้า a และ b เป็นจำนวนเต็ม โดยที่ b ≠ 0 แล้วจะมี q และ r ซึ่งเป็นจำนวนเต็มที่ทำให้                      a = bq + r เมื่อ 0 r |b| นั่นคือ a เป็นตัวตั้งหารด้วย b ได้ผลหารคือ q และเศษ r ตัวอย่างที่ 1 กำหนด a = 48, b = 7 จงหา q และ r เขียนให้อยู่ในรูป a = bq + r 48 = 7 × 6 +6 ∴ q = 6 และ r = 6 • ตัวหารร่วม ตัวหารร่วม      กำหนด a และ b เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์ เรียกจำนวนเต็ม c      ซึ่ง c | a และ c | b ว่าเป็น “ตัวหารร่วม” ของ a และ b ตัวหารร่วมมาก      กำหนด a และ b เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน เรียกจำนวนเต็มบวก d ที่มีค่ามากที่สุด ซึ่ง d | a และ d | b ว่าเป็น “ตัวหารร่วมมาก” (ห.ร.ม.) ของ a และ b เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ (a, b) ตัวอย่างเช่น จงหา ห.ร.ม. ของ 36 และ 48 วิธีทำ ตัวหารร่วมของ 36 ได้แก่ ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±9, ±12, ±18, ±36 ตัวหารร่วมของ 48 ได้แก่ ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±8, ±12, ±16, ±24, ±48 ∴ ตัวหารร่วมที่เป็นบวกของ 36 และ 48 ได้แก่ 1, 2, 3, 4, 6, 12 ∴ ตัวหารร่วม ที่เป็นบวกของ 36 และ 48 ที่มีค่ามากที่สุด คือ12 นั่นคือ ห.ร.ม. ของ 36 และ 48 คือ 12 การหาตัวหารร่วมมากโดยใช้ขั้นตอนวิธีของยุคลิด ตัวอย่างเช่น จงหา ห.ร.ม. ของ 36 และ 48 วิธีทำ      ในที่นี้ rk = 12      ดังนั้น ห.ร.ม. ของ 36 และ 48 คือ 12 จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ บทนิยาม   จำนวนเต็ม a และ b จะเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันก็ต่อเมื่อ (a, b) = 1 • ตัวคูณร่วมน้อย ตัวคูณร่วมน้อย   กำหนด a และ b เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์ เรียกจำนวนเต็มบวก c ที่มีค่าน้อยที่สุด ซึ่ง a | c และ b | c ว่าเป็น "ตัวคูณร่วมน้อย" (ค.ร.น.) ของ a และ b เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ [a, b] ตัวอย่างเช่น จงหา ค.ร.น. ของ 36 และ 24 วิธีทำ พหุคูณที่เป็นบวกของ 36 ได้แก่ 36, 72, 108, 144, ... ∴ พหุคูณที่เป็นบวกของ 24 ได้แก่ 24, 48, 72, 96, 120, 144, ... ∴ พหุคูณร่วมที่เป็นบวกของ 36 และ 24 ได้แก่ 72, 144, ... พหุคูณร่วมที่เป็นบวกของ 36 และ 24 ที่มีค่าน้อยที่สุด คือ 72 นั่นคือ ค.ร.น. ของ 36 และ 24 คือ 72